中考数学二次函数面积最值问题解题策略

中考数学二次函数面积最值问题解题策略

求面积的最值问题在压轴题中比较常见,而且通常与二次函数相结合。二次函数几何中的面积问题是常考量题型,应用二次函数解决实际问题,在中考中是非常热门的考点,因为不仅牵扯到建模的问题,还会应用到数形结合的思想,最值问题等等,深受出题人的青睐。应用二次函数解决实际问题中,常见的类型之一就是求解图形的面积的最值问题,而在求解过程中,首先要建立数学模型,把实际问题转化为二次函数的问题,利用题中的等量关系,求出函数的解析式,然后利用函数的图像和性质去解决问题。充分体现了数形结合思想的具体应用同学们复习备考应高度重视。要解决好这些问题,应注意以下几点:

一、熟练掌握二次函数几方面的基础知识

二次函数背景下图形面积问题,是中考数学试卷中的常见题型,在数学学习中占有重要地位。这类问题归根结底是坐标系背景下三角形面积的计算问题。熟练掌握二次函数几方面的基础知识是关键。

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二、正确理解二次函数中的几何面积问题

解答存在性问题的一般思路是先假设问题存在,然后推理得出结论,进而判断结论是否成立.遇到有两个定点确定平行四边形或其他特殊四边形的问题时,常常要运用分类讨论和数形结合思想,分别画出符合要求的图形,找到所有的答案,分类时要注意不重不漏.要把握好以下各个环节:一是审题:这是解题的开始,也是解题的基础.

一定要全面审视题目的所有条件和答题要求,以求正确、全面理解题意,在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解题步骤的设计.审题思考中,要把握“三性”,即明确目的性,提高准确性,注意隐含性.解题实践表明:条件暗示可知并启发解题手段,结论预告并诱导解题方向,只有细致地审题,才能从题目本身获得尽可能多的信息.这一步,不要怕慢,其实“慢”中有“快”,解题方向明确,解题手段合理得当,这是“快”的前提和保证.否则,欲速则不达。

二是求合理的解题思路和方法:破除模式化、力求创新是近几年中考数学试题的显著特点,解答题体现得尤为突出,因此,切忌套用机械的模式寻求解题思路和方法,而应从各个不同的侧面、不同的角度,识别题目的条件和结论,认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系,谨慎地确定解题的思路和方法.当思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系,既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃.>

解决二次函数中的几何面积问题问题常规思路需要观察分析几何图形的特征,依据相关图形的性质,找出几何量之间的关系,进而建立函数关系模型,利用二次函数的图像和性质进行解决,也就是把面积最大问题转化为二次函数的最大值问题。常见图形面积的最值问题有:①规则图形的面积由面积公式直接计算(如圆、三角形、平行四边形等);②不规则图形的面积多采用分割法求得,即把图形分割为几个规则图形的面积,再求它们的和或差。解这类问题时一定要注意自变量的取值范围,保证自变量和函数具有实际意义。同时要注意在遇到图形面积的最值问题时,往往要联系二次函数的顶点坐标。

一般解题思路和步骤是,设动点P的坐标,然后用代数式表达各线段的长。通过公式计算,得出二次函数顶点式,则坐标和最值,即出。

对于二次函数背景下一类面积最值问题,常规思路:过点P做辅助线,然后利用相关性质,找出各元素之间的关系。设动点P的坐标,然后找出各线段的代数式,再通过面积计算公式,得出二次函数顶点式,求出三角形面积的最大值。而利用探究出规律求解,很容易求解动点坐标所处什么位置时,图形面积取得最值,从而快速确定结果。

(1)【方法解读】1.面积公式:(1)三角形的面积= ××= ×周长×内切圆的半径;(2)矩形的面积=×宽;(3)平行四边形的面积=×高;(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半;(5)正方形的面积等于边长的平方;(6)梯形的面积= ×(上底+下底)×高;(7)圆的面积=πR2;(8)扇形的面积= = lR;(9)弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积;(10)相似三角形面积的比等于相似比的平方.

(2)面积的计算技巧:(1)利用“等底等高等积”进行转化;(2)用两种不同的方法分割同一整体;(3)“割补法”;(4)平移变换;(5)旋转变换等.

(3)铅锤定理,面积=铅锤高度×水平宽度÷2。这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。铅锤定理在求二次函数三角形面积最值问题,运用非常多。设动点P的坐标,然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度,然后利用铅锤定理的计算公式,得出二次函数,必有最大值。

(4)切线法。这其实属于高中内容。但是,基础好的同学也很容易理解。

(5)三角函数法。总之,从以上的四种解法可以得出一个规律。过点P做辅助线,然后利用相关性质,找出各元素之间的关系。设动点P的坐标,然后找出各线段的代数式,再通过面积计算公式,得出二次函数顶点式,求出三角形面积的最大值。

三、二次函数中的几何面积最值问题解题示例

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